שאלה לתותחים בתמתמטיקה (הזוי כאן באופטופיק:) רק אצלינו!)

[aa123]

אז ככה: האם האינטגרל המסויים של הפונקציה

(sin(x*ln(x

בגבולות מ-1 ועד אינסוף (אינטגרל לא אמיתי) מתבדר או מתכנס?

 

כל מיני תוכנות באינטרנט טוענות שמתבדר (יוצא מספר גדול מאוד) אבל המרצה שלי טוען שעבור ההצבה t=xlnx

לפי דריכלה זה מתכנס.

 

הסתכלתי על הגרף של הפונקציה במחשב - ולא נראה כמו משהו מתכנס, כלומר נראה כמו סינוס - שהוא בטוח מתבדר בשאיפה לאינסוף.

 

אם יש לכם MATLAB או MAPLE - אני אשמח אם תנסו לחשב גם בהן.

 

התשובה תקבע לי את הציון באחד המבחנים. (לקבל 80 או 60).

 

תודה על העזרה!

[פליקס]

פיייי החזרת אותי עכשיו לשנה א.

 

לפי דעתי מתבדר, מכיוון ש:

 

תוצאת האינטגרל הלא מסוים היא:

 

 

 

כעת יש לך גם את הגבולות של 1 ואינסוף, עם 1 אין שום בעיה, כי ב1 הפונקציה מוגדרת, באינסוף: קוסינוס היא פונקציה חסומה (בין מינוס אחד לאחד), ופונקציית ln שואפת לאינסוף (עבור גבול של אינסוף) ולכן אאל"ט כל התרגיל הנ"ל שואף לאינסוף.

 

 

אני לא יודע אם מותר להשתמש כאן בדיריכלה, מכיוון שפונקציית ln היא מונטונית עולה ולא מונטונית יורדת...

 

נחכה לעוד תשובות מצעירי שנה א' :lol:

[aa123]

I think you're wrong - the expression you wrote is the derivative with sign=-1

It's not the integral.

[פליקס]

ועכשיו בעברית, ככה שגם אני אוכל להבין למה בדיוק התכוונת שם ?!?!?

[sronis]

אכן שאלה בטמטומטיקה.

 

אם התכוונת לאינטגרל של (sinx)*(lnx) אז זה קל (אני מקווה) - סינוס אמנם חסום אבל ln לא מונוטוני יורד ולכן מתבדרת לפי דיריכלה.

 

אם התכוונת ל-(sin(xlnx אז באמת שאין לי מושג.

 

עריכה - אאל"ט הצבת t=xlnx נותנת אינטגרל פשוט שהוא מינוס cost בין ln1 לאינסוף ואז מקבלים שזה מתכנס. אבל אני ממש לא בטוח בזה.

 

בא לי להקיא מכל החומר הזה (ואל תחשוב שזה משתפר בשנה שלישית...)

 

רוני

[פליקס]

 

עריכה - אאל"ט הצבת t=xlnx נותנת אינטגרל פשוט שהוא מינוס cost בין ln1 לאינסוף ואז מקבלים שזה מתכנס. אבל אני ממש לא בטוח בזה.

 

לא מדוייק, מכיוון שברגע שהצבת t=xlnx , הרי ש dt לא שווה ל dx ואתה צריך גם למצוא למה שווה dt במונחים של dx.

[sronis]

לא מדוייק, מכיוון שברגע שהצבת t=xlnx , הרי ש dt לא שווה ל dx ואתה צריך גם למצוא למה שווה dt במונחים של dx.

 

צודק. זה מוכיח שלא נגעתי באינטגרלים הרבה זמן. אז יאללה, תעשה dt לפי dx ותמצא את התשובה, לא יותר מדי קשה (אבל אין לי כוח, תסלחו לי, היה לי היום מבחן במעגלים אלקטרוניים ספרתיים)

[wil]

אם הכוונה ל-סינוס של (איקס כפול לן איקס) אז האינטגרל מתכנס למרות שהפונק' עצמה לא שואפת לאפס באינסוף (!)

ניתן לראות זאת כך:

הפונקציה נראית כמו פונקציית סינוס רק שתדירות התנודות עולה ככל שאיקס גדל.

בכל תנודה יש חלק חיובי ושלילי.

האינטגרל הוא סכום השטחים של כל החלקים האלו.

כל שטח קטן מקודמו בערך המוחלט והפוך בסימנו.

קיבלנו שהאינטגרל שווה לסכום של טור בעל איברים עם סימן מתחלף, כאשר האיברים (בערכם המוחלט) יורדים באופן מונוטוני וגבולם אפס.

יש איזשהו קריטריון התכנסות שאני לא זוכר את שמו שקובע שטור כזה מתכנס, וניתן להוכיח זאת בקלות.

 

אם עדיין לא השתכנעת אז תגיד ואני אנסה להסביר את זה באופן יותר פורמלי.

 

אגב: נסיונות להוציא את האינטגרל באופן אנליטי ואז להציב הם *לא* הכיוון פה. האינטגרל ככל הנראה אינו אלמנטרי.

(בדיקה דרך אתר הבית של המכורים לחדווא

http://integrals.wolfram.com

[romer-]

האינטגרל ככל הנראה אינו אלמנטרי.

no shit..

אפילו דף הנוסחאות שלי משנה א' לא מכיר משהו בסגנון הזה.

[wil]

אינטגרל לא אלמנטרי = לא ניתן להביע את האינטגרל כפונקציה אלמנטרית:

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA

ככה שלא יעזור שום דף נוסחאות

[romer-]

כן, זו הייתה הכוונה.

הצחיק אותי ה"ככל הנראה" שציטטתי.

[erezfed]

טוב, הרצתי במטלב , הוא היה בכלל לא ידידותי, והפונק' הזו שיגעה אותו בהרבה נקודות. הייתי צריך לעגל לו כמה פינות כדי שיסכים לחשב (גם הזיכרון בנייד שלי לא תרם המון, למרות ששידרגתי היום ל- 1G), אבל הרושם הכללי הוא שהפונק' אכן מתכנסת , איפשהו לערך 0.8.

 

מה שעשיתי הוא הזנת הפונק' למטלב , וחישוב אינטגרל מ-1 עד מס' X , כאשר את המספר הנ"ל הגדלתי כל פעם על מנת לתור אחר שינויים משמעותיים. בגרף אתה רואה את תוצאת הפונק' עם הגדלת המס' X (מטלב ממש התלונן כשנתתי לו X=INF). את התוצאה ד"א היה צריך להמיר (casting) ל-DOUBLE על מנת לקבל אותה מספרית, דבר שרק הוסיף לזמן הריצה ולסבלו של הנייד.

הגליות בגרף היא כמובן תרומה של SIN , הLN הולך ומקטין את הגליות עם הגדלת גבול עליון של האינטגרל, אי שם באינסוף זה אכן מתכנס.

 

לתוצאה מדוייקת יותר, מצא מחשב על וצור קשר

[wil]

בחישובים מהסוג הזה ייתכנו שגיאות מהותיות שנובעות ממגבלות הדיוק של המחשב.

אמנם השיטות של מטלב מנסות להימנע מזה, אבל שום דבר לא מושלם.

ככה שהייתי מתייחס לתוצאת מטלב כזו ב"עירבון מוגבל".

[aa123]

תודה לכם!

[אביב]

קיבלנו שהאינטגרל שווה לסכום של טור בעל איברים עם סימן מתחלף, כאשר האיברים (בערכם המוחלט) יורדים באופן מונוטוני וגבולם אפס.

יש איזשהו קריטריון התכנסות שאני לא זוכר את שמו שקובע שטור כזה מתכנס, וניתן להוכיח זאת בקלות.

 

 

מבחן לייבניץ לטור עם סימנים מתחלפים.