מתמטיקה - 3 יח"ל ואני מסתבך עם טרינום

[proxima]

לא הולך לי באינדוקציה.

[roeibf]

אלרואי מאיזה ספר אתה לומד?

 

הספרים של יואל גבע פסיכומטרי מעולים ואיתם הצלחתי פעם ראשונה בחיי ללמוד ישירות מספר.

אם תרצה, אוכל לארגן לך ספר שלהם (בעלות של תלמיד גבע, אני מאמין שמדובר במשהו כמו 50 שקלים)

 

בן, אני לומד מספר של המכללה.

[St. Bob]

מה לעזאזל מלמדים היום בתיכון? WTF?

[שבלול]

עוד שרשור אחד על מתמטיקה אני עוזב את הפורום

[ofir]

לא הולך לי באינדוקציה.

 

תעלה את הפתרון שלך, איפה אתה נתקע?

[fatboy1340]

טוב, איך מוכיחים שהממוצע החשבוני גדול או שווה לממוצע הגיאומטרי לכל n ולמספרים חיוביים?

 

במיוחד בשבילך, ישבתי וכתבתי

באינדוקציה זה אכן לא להיט

הוכחה.pdf

[proxima]

תודה, רק שמשפט העזר "אם מכפלת n איברים שווה ל-1 אז סכומם גדול או שווה ל- n",

לא מוכר לי.

אפשר לראות הוכחה שלו ?

[fatboy1340]

תנסה להוכיח בעצמך, זה פשוט יותר מהבעיה המקורית.

רמז: תנסה לחשוב על מספר בודד במכפלה זו (מה האפשרויות שלו).

[proxima]

צ'מע, זה נראה לי נכון, הוכחתי עבור 2 איברים,

להוכיח עבור n צריך להיות בערך כך:

1) זורקים מהמכפלה את כל האיברים ששוים ל-1.

2)ממה שנשאר : המכפלה החלקית של כל האיברים השונים מ -1, שווה גם היא ל -1.

3) מוכיחים שאפשר לפרק מכפלה כזו למכפלה של מספר זוגי של איברים/מספרים, כך שניתן לסדר אותם כאוסף זוגות של מספר וההופכי שלו.

למשל אם המכפלה המקורית היא 3 מספרים נגיד : 1/2*1/2*4 אז ניתן לרשום אותה כמכפלה של 4 מספרים : 2*1/2*2*1/2

 

מאחר שהוכחתי בהתחלה שאם a*b=1 אז a+b>=2, אז אם יש לי אוסף של k זוגות כאלו, ברור שהסכום של האוסף יהיה גדול או שווה ל 2k.

אם נסדר את הסכום הכולל, רואים שסכום 2k הזוגות ועוד סכום האיברים השוים ל-1 במכפלה המקורית, גדול או שווה ל n.

 

את סעיף 3 לא היה לי זמן להוכיח באופן פורמלי מדוקדק, וזה לא נראה קשה מידי.

 

אם זה נכון וזה נראה כך, אז כל הכבוד.

האי-שוויון נקרא אי-שוויון הממוצעים והוכח לראשונה ע"י מקלוריין (כן, זה מטוריי מקלוריין המפורסמים) ב- 1729, לא היה נראה לי שניתן להוכיח אותו בדרך פשוטה כמו שהראית.

יש לו הרבה הוכחות בפוסט הנהדר הזה

ההוכחה הכי פשוטה עדיין מסובכת יותר מהדרך שהצגת , בגלל זה נותרה בי סקפטיות מסוימת.

[fatboy1340]

מעולה!

רק הערה לגבי סעיף 3 שלך - זה לא חייב להיות מספר זוגי של איברים ,אלא מספר כלשהוא של איברים. לצורך העניין גם מכפלה של 3 איברים יכולה לצאת 1.

לסיכום :כעת אתה פחות סקפטי?

אגב, אי השויון, נקרא ע"ש קושי (COUCHY), יש הוכחה שלו בויקיפדיה. תבדוק. קצר ואלגנטי

[ניקו פ.]

[fatboy1340]

מוכיחים את זה באינדוקציה? או עם טורי טיילור?

[proxima]

זה לא חייב להיות מספר זוגי של איברים, אני רק הראיתי ללא הוכחה שאפשר להפוך מכפלה של מספר אי-זוגי או (אי-זוגי)

של איברים למכפלת אוסף זוגות של מספרים וההפכי שלהם.

 

 

כן, יש לי סקפטיות, אלא אם להוכיח את משפט העזר באופן פורמלי יתגלה כפרוייקט,

זאת הוכחה שחרשו עליה דורות של מתמטיקאים במשך 300 שנה, אבל לך תדע,

את המשפט היסודי של האלגברה גאוס הוכיח בגירסה הראשונה או השניה בתיאור שהשתרע על

כ 100 עמודים, ההוכחה השלישית או הרביעית, כבר משתרעת על עמוד או חצי עמוד.

[TheOne23]

וייטה וניוטון מתהפכים עכשיו בקיברם.